３．運動・位置・散逸エネルギー

ラグランジュの運動方程式を用いるときに用いる，代表的なエネルギーをまとめます．

3.1 並進運動の運動・位置・散逸エネルギー

下図のように，垂直平面に質量\(m\)の質点に剛性\(k\)のばねと粘性\(b\)のダンパが付いている場合を考えよう．また質点には変位\(x\)が生じるとします．質点には，ばねにより変位\(x\)に比例して力\(kx\)が加わり，ダンパにより速度\(\dot x\)に比例して力\(b \dot x\)が加わると仮定します．

運動エネルギー\(T\)，重力による位置エネルギー\(U_g\)，ばねによる位置エネルギー\(U_k\)は高校のときに学んだ通りで，それぞれ\(T=(1/2)m\dot x^2\)，\(U_g=mgx\)，\(U_k=(1/2)kx^2\)になります．ダンパの粘性\(b\)により失うエネルギーを散逸エネルギー\(F\)と呼び，\(F=(1/2)b \dot x^2\)になります．

3.2 回転運動の運動・位置・散逸エネルギー

下図のように，慣性モーメント\(I\)の円板にねじり剛性\(k\)のばねと粘性\(b\)のダンパの要素が含まれている棒が付いている場合を考えよう．また円板には角度\(\theta\)が生じるとします．円板には，ばねにより角度\(\theta\)に比例してトルク\(k \theta\)が加わり，ダンパにより角速度\(\dot \theta\)に比例してトルク\(b \dot \theta\)が加わると仮定します．

運動エネルギー\(T=(1/2)m\dot \theta^2\)，位置エネルギー\(U=(1/2)k \theta^2\)，散逸エネルギー\(F=(1/2)b \dot \theta^2\)になります．

3.3 まとめ

並進運動と回転運動の運動・位置・散逸エネルギーを下記の表にまとめます．

並進運動，回転運動の位置・散逸エネルギーにおいて，同じ\(b\)，\(k\)を用いていますが，異なる物理量ですので単位は異なります．